更相减损术_方法技巧|乐彩网

更相减损术出自《九章算术》，是一种求最大公约数的经典算法，既可用于约分，亦适用于其他需公约数的场景。其核心步骤如下：

算法流程

1步骤一：

-若两数均为偶数，则持续以2约简；

-若无法约简，进入步骤二。

2步骤二：

-用较大数减较小数，差值再与较小数比较，循环相减至两数相等；

-最终结果=约简的2的乘积×等数（即最大公约数）。

应用案例

用更相减损术求98与63的最大公约数。

解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减：

98-63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=21

21-7=14

14-7=7

所以，98和63的最大公约数等于7。

例2、用更相减损术求260和104的最大公约数。

解：由于260和104均为偶数，首先用2约简得到130和52，再用2约简得到65和26。

此时65是奇数而26不是奇数，故把65和26辗转相减：

65-26=39

39-26=13

26-13=13

所以，260与104的最大公约数等于13乘以第一步中约掉的两个2，即13*2*2=52。

更相减损法有点类似于求最大公约数的 Stein算法。在更相减损法中，若两个是偶数则同除以2，结果乘以2。如果增加一个判断，若为一奇一偶则偶数除以2，结果不变，若为两个奇数才相减，这样就变成了目前计算大整数最大公约数的非常好的一个算法，Stein算法。

在上面的实例中，下面是更相减损法与Stein算法的比较，从中可以发现两种算法的相似性。

Stein算法：

98为甲数63为乙数

98是偶数，除以2等于49乙数63

都是奇数，63-49=14甲数49乙数14

14是偶数，除以2等于7甲数49乙数7

49-7=42甲数42乙数7

42是偶数，除以2等于21乙数7

21-7=14乙数14乙数7

14是偶数，除以2等于7乙数7

所以98和63最大公约数是7

算法对比

方法：更相减损术，操作：减法，时间复杂度：O(N)，优化方向：适合小数计算。

方法：辗转相除法，操作：除法，时间复杂度：O(logN)，优化方向：大数效率高。

方法：Stein算法，操作：位运算，时间复杂度：O(logN)，优化方向：大整数优化方案。

“辉理法则”的映射：更相减损原则

1组与组之间间协作策略：

-分组：当多组数据相同数据不多时，独立操作多组以降低风险；

-并组：当数据存在相同数据比较多时，组和组之间选择并组以达到重点突破的效果；

-合组：当多组数据相同的数据特别多时，那么就要采取合组的方式来解决问题，因为一样的数据太多，没有必要分成两组拆分多次操作，合为单一组简化流程。

总结：当然上面说的方式是在正常情况下解决问题时，当有特殊需求时完全是可以反向操作的。

2决策逻辑：

-通过差异度评估（类比更相减损的"约简次数"）动态选择协作模式；

-优先确保系统稳定性，再追求收益最大化。

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