彩票数学知识讲座（五）

排列数的计算公式

    前面两讲中我们讨论的是一些比较简单的排列问题，可以用穷举的方法来解决。但对于一些相对较复杂的问题，就不能这样做了，需要根据具体的计算公式来解答。

    定义3：从n个不同元素中，任取m (m＜＝n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号P(m,n) 表示。

例如：从5个不同元素中取出3个元素的排列数表示为P(3,5)。求排列数P(m,n)可以这样考虑：设有n个元素m1，m2，...，mn 从其中先任选1个元素排在第一个位置，因为m1，m2，...，mn中任选1个都可以，所以有n种方法；排在第二个位置的元素，是除了选作第一位的元素以外的n-1个元素中再任选一个，所以有n-1种方法；这样下去，选第三个，第四个......第m个位置的元素的方法，数目分别是n-2,n-3,...,n-(m-1)。根据乘法原则，它们的总数是这m个排列方法的数目的积，即n(n-1)(n-2)*...*(n-m+1),所以P(m,n)=n(n-1)(n-2)*...*(n-m+1)。这里m<=n。

这就是说，从n个元素中每次取出m个元素，所有的排列总数等于m个连续自然数的积，其中最大的一个数是n，这个公式叫做排列数公式。当m=n时，叫做n个不同元素的全排列。

    排列的概念：

    关于排列，我们先看下面的例子：

    例：由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数?

    解：题中所指“没有重复数字”就是三位数中的三个数字不能是同一数字。根据题意。

    第一步，先确定百位上的数字。在1，2，3，4这四个数字中任取一个，共有4种方法；假设我们取3作为百位数。

    第二步，确定十位上的数字。当百位上的数字确定以后，十位上的数字只能从余下的三个数字中1，2，4中去取，共有3种方法；假设我们取2作为十位数。

    第三步，确定个位上的数字。当百位、十位上的数字都确定以后，个位上的数字只能从余下的两个数字1和4中去取，共有2种方法。

根据乘法原理，从四个不同的数字中，每次取出三个排成三位数的方法共有 4×3×2＝24 种。就是说，共可以排成24个不同的三位数。

定义1：一般地说，从n个不同元素中，任取m (m＜＝n)个元素(这里只研究被取出的元素各不相同的情况)，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出个m元素的一个排列。

    从排列的定义知道，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素相同，而且排列的顺序也必须完全相同。如果所取的元素不完全相同，如问题中的三位数“123”和“321”，虽然它们的元素相同，但排列顺序不同，也是两个不同的排列。