彩票数学知识讲座（十五）

事件独立性（一）

这一讲中我们将引进一个新的概念――独立性，先从两个事件的独立性开始，然后讨论更为一般的场合。

   例1：一个袋中装有a只黑球和b只白球，采取有放回摸球（即如果摸出来的是黑球然后放回一个同样的黑球，白球亦然），求 1，在已知第一次摸出黑球的条件下，第二次摸出黑球的概率； 2，第一次摸出的球不确定，第二次摸出黑球的概率。 解：以事件A表示第一次摸出的是黑球，事件A表示第一次摸出的是白球，事件B表示第二次摸出的是黑球，事件AB表示两次摸出的都是黑球，事件AB表示第一次摸出白球第二次摸出黑球，则 P（A）＝a/（a＋b），P（A）＝b/（a＋b）， P（AB）＝a2/（a+b）2，P（AB）＝ab/（a+b）2， 所以 P（B∣A）＝P（AB）/P（A）＝a/（a＋b）。 而 P（B）＝P（AB）+ P（AB）＝a2/（a+b）2 ＋ ab/（a+b）2＝a/（a＋b）。

   注意这里的P（B∣A）＝P（B），即事件A发生与否，对事件B发生的概率没有影响。从直观上讲，这很自然。因为我们采取的是有放回摸球，因此第二次摸球时袋中的球的组成与第一次摸球时完全相同，所以第一次摸球的结果实际上不影响第二次摸球的结果。在这种场合可以说，事件A和事件B的出现有某种“独立性”。

   定义：对事件A和B，若P（AB）＝P（A）P（B）则称它们是独立的。

例2：在例1中，若采用不放回摸球（第一次摸出球后，不再放回同样的球），试求那两个事件的概率。 解：这时 P（A）＝a/（a＋b），P（AB）＝a（a－1）/（a+b）（a+b－1）， P（AB）＝ab / （a+b）（a+b－1） 所以 P（B∣A）＝P（AB）/P（A）＝（a－1）/（a＋b－1）， 而 P（B）＝P（AB）+ P（AB）＝a/（a＋b） 这里P（B∣A）≠P（B），即事件A和事件B不是相互独立的。因为第一次摸出黑球并没有放回，所以第二次摸球时袋中的球的组成成分已经改变了，当然要影响第二次摸黑球的概率。

   习题： 1，九个完全相同的小球，分别标上01 02......09这九个号码，如果采用有放回摸球的方案，问第二次摸到号码为03的小球的概率？ 2，条件同上题，如果采用无放回摸球的方案。在已知第一次摸到不是号码03的小球，第二次摸到号码为03的小球的概率？