彩票数学知识讲座（十三）

概率初步(四)

    条件概率：

    对概率的讨论总是在一组固定的条件限制下进行的。以前的讨论总是假定除此之外再无别的信息可供使用。

可是，有时我们却会碰到这样的情况，即已知某一事件B已经发生，要求另一事件A发生的概率。例如考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率一样，则两个孩子（依大小排列）的性别为（男，女），（男，男），（女，男），（女，女）的可能性是一样的。若以A记随机选取一个家庭中有一男一女这一事件，则显然P（A）＝1/2，但是如果预先知道这家庭中至少有一个女孩，那么上述事件的概率便应是2/3。

    两种情况下算出的概率不同。这也很容易理解，因为在第二种情况下，我们多知道了一个条件：事件B（这一家庭至少有一女孩）发生，因此我们算得的概率事实上是“在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率”，这个概率我们将记之为P（A∣B）。

    这种带有条件的概率很重要，下面我们就来研究它。在给出严格定义之前，先考察一些特殊的场合。

    就从上述例子出发。总的可能出现的次数n＝4，有利场合数mA＝2，因此P（A）＝1/2；但是假如已知事件B发生，即至少有一个女孩，那么总的可能出现的次数mB＝3〔（男，女），（女，男），（女，女）〕，而有利场合（至少有一个女孩而且有一男一女）数mAB＝2，因此 P（A∣B）＝2 / 3＝mAB / mB＝（mAB /n）/（mB /n） ＝P（AB）/P（B）

    （1）在一般场合，我们将把这个算式作为条件概率的定义。

定义：记P（A∣B）＝P（AB）/P（B），

    （2）并称P（A∣B）为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率

由（2）立刻得到P（AB）＝P（B）P（A∣B）

    （3）这个等式有时被称为概率的乘法定理

    同样我们可以定义P（B∣A），这时有 P（AB）＝P（A）P（B∣A）＝P（B）P（A∣B）